Понятная информатика,

Рассмотрим различные задачи, которые встречаются в данном задании, и способы их решения. Начнем с самых простых задач, которые вряд ли будут на ЕГЭ, но решение которых позволит нам быстро и просто решать самые сложные, и придем сложным в этом задании.

 

Задача 1.  Как представлено число 73₁₀ в двоичной системе счисления?

 

      a)  1001011        b) 111101         c) 101011        d) 1001001

 

Решение.   Для быстрого и точного решения задачи достаточно разложить исходное число на сумму степеней двойки, а затем записать «1» на место существующей степени и «0» - на место пропущенной степени двойки.

 

Тогда     73₁₀ = 2⁶ + 2³ + 2⁰  =  1001001₂

(шестая степень есть – 1, пятой нет – 0, четвертой нет – 0, третья есть – 1, второй нет – 0, первой нет – 0, нулевая есть – 1).

 

Возможные ловушки:

• если исходное число четное, то нужно не забыть о нулевой степени числа.
• вариант ответа b). Нужно помнить правильность перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную, что десятичная система не «дружит» ни с какой другой в окружении систем с основанием, меньшим 100 (а на другие задачи мы не решаем), и пользоваться таблицей «дружбы» для перевода в двоичную систему счисления нельзя.

 

Проверка решения:  По закономерности 4 из теоретической части:  N^L-1 ≤  Ch <  N^L

                                Тогда      64  ≤  73  <  128 , то есть  2⁶ ≤  73  <  2⁷

                                Длина результата равна 7, как и в полученном ответе.

Эта проверка действует на оба варианта из возможных совершенных ошибок.

На ЕГЭ более вариантов ответов не предусматривается.

Ответ: d (1001001)

 

Задача 2.  Сколько единиц в двоичной записи числа 187 ?

 

Решение.   Для быстрого и точного решения задачи достаточно разложить исходное число на сумму степеней двойки, а затем посчитать количество присутствующих степеней.

 

Тогда   187 = 128 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 , то есть будет всего шесть степеней двойки.

 

Заметим, что более никаких действий для получения ответа здесь выполнять не нужно!

 

Для проверки правильности решения достаточно сложить полученные числа и сравнить их с исходным числом.

Ответ: 6

 

Задача 3.  Сколько нулей в двоичной записи числа 204 ?

 

Решение.   Для быстрого и точного решения задачи достаточно разложить исходное число на сумму степеней двойки, а затем посчитать количество присутствующих степеней.

 

Тогда   205 = 128 + 64 + 8 + 4  , то есть будет всего 4 степени  двойки. А длина числа при переводе в двоичную систему счисления будет  равна 8 (2⁷  ≤  205  <  2⁸). Тогда количество нулей в числе будет равно разнице между ними:           8 - 4 = 4.

 

Заметим, что более никаких действий для получения ответа здесь выполнять не нужно!

Ответ: 4

 

Задача 4.  Как записывается число A9516 в восьмеричной системе счисления?

 

Решение.   Шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления являются «дружественными» («родственными») системами, поэтому для решения задания достаточно использовать таблицу «дружбы» и принцип перевода чисел с ее помощью (см. теорию по теме).

 

Тогда                    A95₁₆ = 1010 1001 0101₂ = 101 010 010 101₂ = 5225₈.

 

Ответ: 5225

 

Задача 5.  Дано:  а = 9C₁₆, b = 236₈. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?

a) 10011010            b)  10011110          c)  10011101         d) 11011110

 

Решение.  Заметим главное: исходные числа даны здесь в различных системах счисления. Для решения задачи нужно сначала привести их в одну – любую, удобную Вам для вычислений, а затем выполнять дальнейшие действия.

Здесь числа даны в дружественных восьмеричной, шестнадцатеричной и двоичной системах, поэтому удобнее всего перевести первое число и ответы  в восьмеричную систему и найти подходящий вариант решения.

 

Тогда   9C₁₆ = 1001 1100₂ = 10 011 100₂ = 234₈;

            a)  10011010₂ = 10 011 010₂ = 232₈;

            b)  10011110₂ = 10 011 110₂ = 236₈;

            c)  10011101₂ = 10 011 101₂ = 235₈;

            d)  11011110₂ = 11 011 110₂ = 336₈.

 

Правильный ответ – с), но рекомендуется не останавливаться, а проверить все варианты ответов, чтобы быть уверенным в правильном решении.

Ответ: с

 

Задача 6.  Даны 4 целых числа, записанные в двоичной системе:

                               10111010,      10110100,      10101111,      10101100.
Сколько среди них чисел, меньших, чем 9C₁₆ + 37₈?

 

Решение.  Заметим главное: исходные числа даны здесь в различных системах счисления. Для решения задачи нужно сначала привести их в одну – любую, удобную Вам для вычислений, а затем выполнять дальнейшие действия.

Здесь числа даны в дружественных восьмеричной, шестнадцатеричной и двоичной системах, поэтому удобнее всего перевести первое число и ответы  в восьмеричную систему и найти подходящий вариант решения.

 

Тогда 9C₁₆  = 1001 1100₂ = 10 011 100₂ =234₈;

           234₈ + 37₈ =  273₈;

           10111010₂ = 272₈  (подходит);

           10110100₂ = 264₈  (подходит);  

           10111111₂ = 277₈ (не подходит);       

           10101100₂ = 259₈ (подходит).

Ответ: 3

 

Задача 7.  Укажите наибольшее четырёхзначное шестнадцатеричное число, двоичная запись которого содержит ровно 5 значащих нулей. В ответе запишите только само шестнадцатеричное число, основание системы счисления указывать не нужно.

 

Решение.  Наибольшее четырехзначное шестнадцатеричное число равно FFFF. Чтобы число с пятью значащими нулями оставалось наибольшим, нули должны стоять в конце числа, тогда переводим две последние цифры в двоичную систему счисления, заменяем там последние пять цифр на нули и переводим обратно в шестнадцатеричную систему, получаем:

                          FF₁₆ = 11111111₂ = > 11100000₂ = E0₁₆

Ответ: FFE0

 

Задача 8.  (А.Н. Носкин) Задан отрезок [a, b]. Число a – наименьшее число, восьмеричная запись которого содержит ровно 3 символа, один из которых – 3. Число b – наименьшее число, шестнадцатеричная запись которого содержит ровно 3 символа, один из которых – F. Определите количество натуральных чисел на этом отрезке (включая его концы).

 

Решение. 

                a = 103₈;  b = 10F₁₆ = 1 0000 1111₂ = 417₈

                417₈ – 103₈  + 1 = 315₈ = 205  (плюс 1, потому что в разность входит только один конец отрезка, добавляем второй).

Ответ: 205

 

Задача 9.  (Е.В. Куцырь) Определите количество натуральных чисел, кратных основанию четверичной системы счисления и удовлетворяющих неравенству: 734₈ <= x < 1E4₁₆

 

Решение. 

            1E4₁₆ = 1 1110 0100₂ = 744₈

            744₈ – 734₈ = 10₈ = ₈ – всего в интервале, включая исходное число.  Тогда чисел, кратных 4, в интервале ровно 2.

Ответ: 2